Bulleproofs 算法有两个方面的应用。
一个是 Range proof：
第一讲： 理解零知识证明算法之Bulletproofs --Range Proof 1
第二讲： 理解零知识证明算法之Bulletproofs --Range Proof 2
第三讲： 理解零知识证明算法之Bulletproofs --Range Proof 3
另一个是 general arithmetic circuits，本编文章就来主要分享 Bulletproofs 在后者上的应用。
Arithmetic Circuits
了解 ZK-SNARK 算法应该都知道算术环路的概念，下面一张图展示了 zk-snark 算法中，算术环路的设计规则（以 V 神的 x3 + x + 5 = 37为例）。
Circuit 设计规则：
1.由乘法门和加法门组成，每个门固定两个输入一个输出；
2.不标记通过加法门连接乘法门的线，如图中绿线，仅起到连接作用；
3.同一条线直接或间接连接多个乘法门，仅表示为一条有效的线，为了方便理解，用紫色虚线表示其连接关系；
4.MulGate 处的取值为图中红色字体所示
5.黄色线条为有效连接线
6.橙色线条表示 MulGate 对应的一阶约束
那Bulletproofs算法的算术环路的设计规则是什么样的呢？我们看看下图（仍以 V 神的x3 + x + 5 = 37为例）。
Circuit 设计规则：
1.由乘法门和加法门组成，每个门固定两个输入一个输出；
2.不标记加法门
3.不标记有常量的乘法门
4.红色字体表示乘法门的索引
5.黄色字体表示乘法门的输入和输出
6.橙色线条表示乘法门对应的一阶约束
7.蓝色线条表示相邻乘法门间的一致性约束
因此，一个完整有效的算数电路应该满足：
1.每个乘法门对应的的约束成立
2.乘法门之间的一致性约束成立
Zk-snark 的算术电路通过 R1CS 满足了上述两个条件。
1.每个 R1CS 表示一个乘法门的约束
2.相邻乘法门的输出是下一个乘法门的输入，如图中的 y,sym_1,sym_2
Bulletproofs 的算术环路以通过以下两种方式满足上述两个条件：
1.每个乘法门对应的约束成立
2.上个乘法门的输出等于下个乘法门的输入。
看起来两个算法的证明一个算术电路有效的思想是一样，但是由于两个电路的标注规则不同，就产生两个不同的约束结果。
Zk-snark 算法以 valid wires 为基本要素，每个 wire 有左输入，右输入，和输出三个属性
Bulletproofs 算法以 valid Mulgate 为基本要素，每个 Mulgate 有左输入，右输入和输出三个属性
最后，附上一张对比图：
总结 以上可以看出，对数算术环路的满足性问题，不同的算法具有不同的电路描述方式。 Zk-snark 算法由 Circuits 转化到 QAP，最终生成的证据仅仅再几十个字节大小；
Bulletproofs 的算法由 Circuits 转化到 inner productor，生成的证明的大小和算术电路的乘法门的个数 n 有关 O(log(n*Q )，电路越大，证据越大。
附录
1.Bulletproofs 论文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611
2.BCG+ 讲述了算术电路的另外一种描述形式 https://eprint.iacr.org/2017/1066.pdf
